高数 下 隐函数的求导公式 方程组的情形，含隐函数的参数方程求导

高数下：隐函数的求导公式

隐函数的求导公式

在高等数学中，如果一个或多个变量不能显式地表示为其他变量的函数，那么我们称这些变量为"隐变量"，对于包含隐变量的函数，我们可以使用隐函数求导法则来求解其导数。

1.1 隐函数求导法则

对于隐函数 F(x, y) = 0，y 是隐变量，我们可以通过以下步骤求出 y x 的导数：

1、对等式两边同时求导。

2、将 y 看作常数，对等式进行整理。

3、解出 dy/dx。

1.2 示例

考虑隐函数方程组 F(x, y) = x^2 + y^2 r^2 = 0，r 是常数，我们想要求解 y x 的导数。

我们对等式两边同时求导，得到：

d/dx (x^2 + y^2 r^2) = d/dx (x^2) + d/dx (y^2) d/dx (r^2) = 2x + 2y * (dy/dx) 0

我们将 y 看作常数，将上式整理为：

2y * (dy/dx) = 2x

我们解出 dy/dx：

dy/dx = x/y

这就是 y x 的导数。

含隐函数的参数方程求导

参数方程是一种特殊的函数表示方法，它用参数代替了某些变量，对于参数方程，我们同样可以使用隐函数求导法则来求解其导数。

2.1 参数方程求导法则

对于参数方程 x = f(t)，y = g(t)，我们可以通过以下步骤求出 dy/dx：

1、先将参数方程化为普通方程。

2、然后对普通方程应用隐函数求导法则。

3、最后解出 dy/dx。

2.2 示例

考虑参数方程 x = t^2，y = t^3，我们想要求解 dy/dx。

我们将参数方程化为普通方程：

t^4 = x, t^6 = y

我们对等式两边同时求导：

d/dt (t^4) = d/dt (x), d/dt (t^6) = d/dt (y) => 4t^3 = x' => x' = 4t^3, 6t^5 = y' => y' = 6t^5

我们解出 dy/dx：

dy/dx = (6t^5) / (4t^3) = 3t^2 => dy/dx = 3t^2